Если в геометрических и алгебраических фракталах формула постоянна, то в стохастических она меняется — и не один раз. Шведский математик Хельге Фон Кох в 1904 году описал кривую, воспользовавшись треугольником и методом самоподобия, в результате чего получилась фрактальная снежинка. Геометрические — строятся на основе исходной фигуры, которая определённым образом делится и преобразуется на каждой итерации. Сегодня модели на основе фракталов применяются в физике, биологии, медицине и других науках.

В отличие от строго детерминированных геометрических и алгебраических фракталов, стохастические (или случайные) фракталы вносят элемент непредсказуемости в процесс своего формирования. Однако в этом случае параметр C является константой для каждого конкретного множества Жюлиа, что дает бесконечное семейство различных фракталов — по одному для каждого значения C. В отличие от геометрических фракталов, они строятся не путем преобразования базовых геометрических фигур, а на основе алгебраических формул, особенно тех, что включают итерационные процессы в комплексной плоскости. В отличие от других типов фракталов, геометрические фракталы всегда предсказуемы и детерминированы, что делает их особенно ценными для образовательных целей и иллюстрации основных принципов фрактальной геометрии. Фракталыимеютширокийспектрпримененийвразличныхобластях.Вкомпьютернойграфикеонииспользуютсядлясозданияреалистичныхтекстуриландшафтовввидеоиграхифильмах.Вмедицинефрактальныеалгоритмыпомогаютулучшатькачествоизображенийвметодахвизуализации,такихкакМРТиКТ. Интересно,чтофракталымогутиметьдробнуюразмерность.Вотличиеоттрадиционныхгеометрическихфигур,такихкаклинии(одномерные),плоскости(двумерные)иобъёмы(трёхмерные),фракталымогутиметьразмерности,выраженныедробнымичислами.Этоозначает,чтоихструктурасложнее,чемулинейныхобъектов,нопроще,чемуобъёмных.

Фрактальные структуры, обладающие свойством бесконечного повторения на различных масштабах, могут быть использованы для генерации музыкальных последовательностей и звуковых текстур. В образовательных целях фракталы как язык используются для демонстрации математических концепций и стимулирования интереса к науке. В финансовой сфере фракталы используются для анализа временных рядов, таких как котировки финансовых инструментов. В медицине фрактальные анализы применяются для изучения строения биологических тканей (не только людей, но и животных), таких как легкие, сердце и кровеносные сосуды.

Алгебраические фракталы

В её основе лежит знаменитая теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Ниже показаны четыре итерации построения такой фигуры. На первой итерации у нас был один отрезок, на второй мы получили два, на третьей — четыре и так далее. В 1883 году Георг Кантор — немецкий математик, автор теории множеств — придумал множество, которое повторяло само себя снова и снова. Стохастические — образуются в том случае, если в итерационной системе случайным образом изменяется один или несколько параметров.

В мире фрактальной геометрии существует впечатляющее разнообразие форм и структур, которые исследователи классифицируют по различным принципам. При этом самоподобие может быть как точным (как в треугольнике Серпинского), так и приближенным (как у фрактальных облаков или береговых линий). Проще говоря, если мы увеличим фрагмент фрактала, мы обнаружим структуру, напоминающую исходную фигуру. Чтобы структура могла считаться настоящим фракталом, она должна обладать рядом специфических свойств, которые отличают её от обычных геометрических форм. Настоящий прорыв произошел в 1970-х, когда Мандельброт не только систематизировал существующие знания, но и существенно расширил теорию фракталов. Проще говоря, если мы увеличим любую часть фрактала, то увидим структуру, похожую на исходную фигуру целиком.

Фракталы, которые правят миром: как математика проникает в хаос

Аорта, артерии, капилляры образуют фрактальную сетку, похожую на ветвистое дерево. Поэтому берётся мера измерения — например, в 100 км. Что нужно сделать, чтобы определить длину линии, на которой сталкиваются суша и вода? После всех вышеперечисленных растений трудно осознать, что береговая линия — это тоже фрактал. Кстати, а корневая система — это уже другое самоподобное множество. Например, британский математик Майкл Барнсли в своем труде «Фракталы повсюду» описал «фрактал-папоротник», который при приближении даёт воспроизведение начальной формы.

фракталов

• В целом, бинарный поиск напоминает принцип Кантора, где на каждой итерации получается вдвое больше разветвлений (отрезков).
• Первая математическая фигура, которую мы сегодня классифицируем как фрактал, была открыта немецким математиком Георгом Кантором ещё в 1883 году.
• Ученые активно изучают подобные фракталы и применяют их в различных областях, включая физику, экономику, биологию и компьютерную графику.

Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

История и происхождение фракталов

С помощью сложных стохастических законов учёные могут воспроизводить структуры объектов живой природы. Приближаясь к любым координатам множества Мандельброта, вы увидите всё новые и новые бесконечные узоры, которые напоминают изначальный вариант. А потом комплексные числа нашли применение и в других областях, например в тригонометрии. Всё это — ещё одна иллюстрация самоподобия, о котором мы говорили ранее. В целом, бинарный поиск напоминает принцип Кантора, где на каждой итерации получается вдвое больше разветвлений (отрезков). Полученный геометрический фрактал напоминает дерево, поэтому его и назвали деревом Пифагора.

Когда открыли фракталы?

• В отличие от геометрических фракталов, они строятся не путем преобразования базовых геометрических фигур, а на основе алгебраических формул, особенно тех, что включают итерационные процессы в комплексной плоскости.
• Кровеносная система, бронхиальное дерево легких, нейронные сети — все эти структуры многократно ветвятся, образуя самоподобные паттерны на разных масштабах.
• Странно, но вместо того, чтобы сходиться к определенному числу, длина линии начинает двигаться к бесконечности.
• Здесь все начинается с простой детали — строится такой фрактал от обычной геометрической фигуры.
• Что нужно сделать, чтобы определить длину линии, на которой сталкиваются суша и вода?

Фрактальные формы в природе являются результатом сложных процессов и взаимодействий, и они предоставляют уникальный способ понимания и описания естественных явлений на различных уровнях масштаба. Фракталы играют важную роль в науке, искусстве и технологиях, предоставляя инструменты для моделирования и визуализации различных явлений в природе и абстрактных математических концепций. Они нашли применение в различных областях для человека, включая математику, физику, биологию, компьютерную графику, искусство и даже финансовые анализы. Фрактал – так называется математический объект или графическое представление, обладающее самоподобием на различных масштабах.

Алгоритмы сжатия данных

Повторяя этот процесс бесконечно, легко получаем фрактальную кривую, которая становится всегда более сложной. Фракталы представляют собой геометрические фигуры, обладающие свойством бесконечного повторения на различных масштабах. Это создает уникальные музыкальные паттерны, которые сохраняют свою структуру на различных временных шкалах. Программы и приложения с фрактальными элементами могут сделать изучение математики более увлекательным. Этот вид искусства и визуализации обладает уникальными характеристиками, такими как самоподобие, многократность деталей на различных масштабах и сложные геометрические формы.

Береговая линия

Этот процесс рекурсивно повторяется для каждого нового отрезка, создавая со временем реалистичный профиль горного хребта или береговой линии. Один из простейших методов создания стохастических фракталов — это случайное смещение средней точки (midpoint displacement). Именно этот класс фракталов наиболее тесно связан с моделированием природных явлений, поскольку в природе редко встречаются идеально правильные формы — всегда присутствует элемент случайности и вариативности. Несмотря на свою математическую сложность, именно алгебраические фракталы приобрели наибольшую известность среди широкой публики благодаря их потрясающей визуальной эстетике.

Алгоритм начинается с прямой линии, затем её средняя точка смещается вверх или вниз на случайную величину. При этом ключевое свойство самоподобия сохраняется, но проявляется в статистическом смысле — части объекта похожи на целое не точно, а с определенной степенью вероятности. Увеличивая любой участок границы этого множества, мы обнаруживаем новые миниатюрные копии всего множества вместе с уникальными структурами, которые нигде более не повторяются. Наиболее известными представителями этого класса являются множество Мандельброта и множество Жюлиа. В отличие от классической геометрии, где фигуры описываются конечным набором параметров, фрактал теоретически можно строить бесконечно, углубляясь во всё более мелкие детали. Первая математическая фигура, которую мы сегодня классифицируем как фрактал, была открыта немецким математиком Георгом Кантором ещё в 1883 году.

Абстрактное самоподобное множество представить сложно. Странно, но вместо того, чтобы сходиться к определенному числу, длина линии начинает двигаться к бесконечности. Иными словами, насколько сильно вы не приближали бы настоящий фрактал, вы все равно увидите повторение в нем одного и того же узора, представляющего собой форму самого объекта. Фракталы — это бесконечно сложные структуры, которые самоподобны в разных масштабах. А всё потому, что горы, облака, молнии, реки, растения, клетки живых организмов и даже галактики обладают общим свойством самоподобия. На принципе самоподобия основано целое направление в компьютерной графике.

Ученые активно изучают подобные фракталы и применяют их в различных областях, включая физику, экономику, биологию и компьютерную графику. Примером простого фрактала и подобной фигуры может служить фрактальная кривая Коха. Теперь мы знаем, что фракталы – это удивительные математические объекты, которые могут быть построены с помощью определенных формул. Один из способов интеграции фракталов в музыку заключается в использовании фрактальных функций для определения параметров звуковых событий. Фрактальные структуры широко распространены в природе, и многие естественные формы могут быть описаны с использованием фрактальных концепций. Примерами известных фракталов являются множество Кантора, множество Мандельброта, треугольник Серпинского и дерево Пифагора.

Рассматривать и изучать такие фракталы можно бесконечно. Если бы мы влетели внутрь такого фрактала и попытались приблизиться к любой из сторон, то заблудились бы и никогда из него не выбрались, потому что фрактал в трейдинге внутри губки Менгера скрыто бесконечное пространство! Посчитать периметр такой снежинки невозможно, потому что она может разрастаться всё дальше и дальше… Это ещё одно свойство фракталов — бесконечность. На какой бы итерации мы ни увеличили масштаб изображения, мы всегда сможем увидеть знакомый паттерн, как и с множеством Кантора.

Это означает, что структура фрактала повторяется сама в себе при увеличении или уменьшении масштаба (элементы похожи), выглядит одинаково. Возможно, самый важный урок, который дают нам фракталы, заключается в том, что для понимания сложности не всегда требуются сложные объяснения. Река со всеми её притоками представляет собой естественную фрактальную структуру, и понимание этой закономерности позволяет более точно прогнозировать поведение водных систем при различных условиях. В гидрологии фрактальные модели применяются для описания речных систем, распределения осадков и паводков. Современные компьютерные модели прогнозирования погоды используют фрактальные алгоритмы для более точного моделирования динамики атмосферы, что значительно повышает точность прогнозов, особенно в долгосрочной перспективе.

Алгебраические — строятся на основе алгебраических формул. На её основе математик продемонстрировал и самоподобие, и рекурсию. Первую такую фигуру, которая вошла в историю как «множество Кантора» (позже мы расскажем про неё подробнее), открыл Георг Кантор в 1883 году. Термин «фрактал» ввёл в 1975 году американский математик Бенуа Мандельброт. Фрактал — это фигура, обладающая свойством самоподобия. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет.

admin

All Author Posts